Blog (55)
Komentarze (1.1k)
Recenzje (0)
@arlidLiczby binarne - ułamkowy zapis

Liczby binarne - ułamkowy zapis

28.03.2013 11:12

Dziękuje za komentarze pod poprzednim wpisem na temat liczb binarnych :) Ten wpis, choć może krótszy niż poprzednik można po części uznać za jego kontynuację. Ale co czym będzie mowa? Otóż chciałbym opisać ułamki, gdyż takowe jak wiadomo są również obecne w systemie dziesiętnym i jak się często słyszy “coś” z tym trzeba zrobić :P No więc zróbmy.

Oto przykładowy ułamek o podstawie b

459429

Tutaj warto przypomnieć o pojęciu “pozycji” wprowadzonej w pierwszym wpisie. Otóż mieliśmy tam liczbę i nadane jej “pozycje”.

459431

Jakie pozycje zatem będzie miał ułamek, skoro zaczynaliśmy od 0? Otóż z tym jest troszkę odwrotnie niż z układem współrzędnych.

Wyobraźmy sobie oś X tego układu i punkt 0 na tej os. Gdy poruszmy się w prawo mamy punkty dodatnie, gdy natomiast pójdziemy w lewą stronę będziemy mieli wartości ujemne.

Tutaj jest odwrotnie. Jak można zauważyć poruszając się w lewo (traktując cyfrę jedności liczby jako punkt 0 układu współrzędnych) nadajemy pozycje dodatnie. Zgodnie z tym co napisałem, że jest to procedura odwrotna do układu kartezjańskiego idąc w stronę prawą nadamy pozycjom oznaczenia “ujemne”.

Dla łatwiejszego zrozumienia dopiszmy wcześniejszy ułamek do naszej liczby.

459436

Określimy teraz poszczególne pozycje naszej nowej liczby.

459438

Niebieskim X oznaczono pozycję części ułamkowej. Zgodnie z wcześniejszymi ustaleniami nadajmy jej odpowiednie pozycje:

459440

Dobrze, skoro teraz jest to rozpisane, zajmijmy się jedynie samą częścią ułamkową

459442

Aby rozpisać sobie ten ułamek podobnie jak zrobiliśmy to z częścią całkowitą we wpisie z informacjami podstawowymi przypomnijmy schemat

459444

W przypadku części ułamkowej podobnie postępujemy z ułamkiem, z tą różnicą, że zamiast dodatniej potęgi jako wykładnik stosujemy jej “ ujemną” wersję. Jest to z resztą zgodne z jej pozycją. Zatem

459446

Oczywiście b to dowolna baza.

Ułamek dziesiętny, a jego binarny odpowiednik

Oczywiście nie można do liczby binarnej dopisać od tak ułamka w innej postaci,. Dlatego należy go najpierw również “przerobić” na odpowiedni - binarny system zapisu. Jak tego dokonać? Istnieje i na to sposób :) Tworzymy podobnie jak poprzednio tabelę:

459450

I tak w polu "część ułamkowa" wpisujemy nasz ułamek w postaci dziesiętnej, następnie dokonujemy obliczeń mnożąc liczbę z kolumny "część ułamkowa" przez bazę naszego zapisu (system binarny - 2). Następnie część całkowitą z pozycji "obliczenia" wpisujemy jako bit, a część ułamkową w pole "reszta" oraz do następnego wiersza w kolumnie "część ułamkowa". Operacje powtarzamy dopóty, dopóki "reszta" nie wynosi 0.

Spróbujmy zamienić nasz ułamek. kolorem czerwonym zaznaczono część całkowitą, kolorem niebieskim część ułamkową. Strzałka wskazuje kierunek zapisu bitów.

459453

Jak można zauważyć wynik ostatniej kolumny pokrywa się z kolejnym wierszami pierwszej, natomiast trzecia kolumna pokrywa się z częścią całkowitą wyniku kolumny drugiej, tak więc dla szybszych obliczeń, gdy już nabierzemy wprawy możemy zmniejszyć tabelę do postaci

459455

Tak więc mamy, że

459457

Sprawdźmy nasz wynik

459459

Więc nasz wynik się zgadza.

Problemy naturalne

Niestety nie zawsze jest tak różowo. Niemniej jednak jesteśmy do tego przyzwyczajeni. Otóż nie zawsze każdy ułamek naturalny da się zamienić na ułamek dziesiętny. Tak samo nie każdy ułamek dziesiętny da się z łatwością zamienić na ułamek binarny ze skończoną liczbą bitów. Powód jest ten sam. Jego okresowość. Weźmy dla przykładu ułamek

459463

Otóż ułamek jest nieskończenie okresowy przez co nie da się go zapisać “czysto” w postaci dziesiętnej. Podobnie

459465

Tutaj niby jest lepiej, mamy przecież pewne 0.1. Niemniej jednak okres także występuje. Ten sam problem dotyczy konwersji ułamka na ułamek w postaci binarnej. Weźmy przykładowy ułamek

459467

i zamieńmy go tak jak wcześniej na postać binarną.

459469

Jak widać i tutaj mamy okresowość. W związku z tym zapiszemy nasz ułamek podobnie jak w przypadku ułamka dziesiętnego z okresem.

459471

Zapis liczby całkowitej i ułamka

No dobrze na koniec pozostaje wprawdzie błaha rzecz, jednak i tutaj czasem zdarzają się pomyłki. Podsumujmy. Wiemy, że

459474

Jak wiadomo w systemie liczb dziesiętnych

459476

W przypadku liczb binarnych jest identycznie i mamy:

459478

Oczywiście każdy ma własne zdanie dotyczące danych kwestii nie zamierzam go w żaden sposób podważać, czy obrażać kogokolwiek w jakikolwiek sposób. Przepraszam także za ewentualne błędy.

Wybrane dla Ciebie
Komentarze (17)